Application de premier retour

Pour voir certains films en relief, il est usuel d'utiliser des ``lunettes'' spéciales. Il en va de même avec les systèmes à dynamiques complexes. Plutôt que de représenter le signal sur l'axe temporel, on a coutume de visualiser la dynamique du système dans l'espace des phases qui associe un axe à chacune des variables d'état. Dans un système à temps continu, toute trajectoire dessine une courbe continue dans cet espace. Dans un système à temps discret, la trajectoire est constituée d'un ensemble de points. Si le système contient $N$ variables d'état (soit $N$ dimensions), cette représentation est hors de portée dès que $N>3$. On peut bien sûr représenter des projections de cette trajectoire sur certains axes, mais en faisant cela on perd quelques propriétés géométriques (intersections).

Dans un système à temps continu, on a souvent recours à la section de Poincaré, ou application de premier retour, qui repose sur une discrétisation de la trajectoire. Si on considère une surface de l'espace de phases qui coupe la trajectoire, chaque point qui constitue l'intersection de la trajectoire avec cette surface peut être associé au point d'intersection suivant. Dans les systèmes à temps discret, pour une variable d'état $x$, l'application de premier retour consiste plus simplement à associer $x(t)$ à $x(t-1)$) :

$$\begin{array}{ll} A~: & {\mathbb{R}} \rightarrow {\mathbb{R}} \\ & x(t-1) \rightarrow A(x(t-1))=x(t) \end{array}$$

On a de la sorte une représentation en deux dimensions, qui permet de décrire la trajectoire ``individuelle'' de la variable $x$ dans un pseudo-espace reflétant plus ou moins les propriétés topologiques de l'espace de phase.