Exposants de Lyapunov

La SCI peut être mesurée par les exposants dits de Lyapunov. Le principe de cette méthode est de mesurer à quelle vitesse deux trajectoires appartenant à l'attracteur vont diverger selon plusieurs directions de l'espace d'état. En suppposant que l'on connaisse ces directions, il est possible d'associer pour chacune d'elles un exposant $\lambda_i$ tel que dans la direction considérée, la distance entre les deux trajectoires évolue proportionnellement à $e^{\lambda_i t}$. Si l'exposant est négatif, les deux trajectoires tendent à se rapprocher à vitesse exponentielle dans cette direction. Si l'exposant est nul, l'évolution de la distance est gouvernée par des termes plus lents, de type polynomial. Si l'exposant est positif, les deux trajectoires tendent à s'éloigner à vitesse exponentielle dans cette direction.

Les points fixes stables ont uniquement des exposants strictement négatifs. Les cycles limites ont un exposant nul, et les autres sont négatifs. Les tores ${\mathcal T}2$ ont deux exposants nuls, et les autres sont négatifs. Si la dynamique possède au moins un exposant positif, alors il existe une direction pour laquelle deux conditions initiales produiront des trajectoires qui tendent à s'éloigner à une vitesse exponentielle. Un exposant positif marque ainsi la sensibilité aux conditions initiales, donc le caractère chaotique de la dynamique. On peut noter qu'une dynamique possédant plusieurs exposants de Lyapunov positifs est qualifiée d'hyperchaotique (ou de chaos profond).

Pour la mise en uvre numérique, il est bon de noter que lorsque $t$ augmente, l'exponentielle qui correspond à l'exposant le plus grand finit toujours par l'emporter sur tous les autres. Grâce à ce fait, on peut, sur un système chaotique, déterminer le plus grand exposant de Lyapunov sans forcément connaître tous les autres, en mesurant le taux de croissance de la distance entre deux trajectoires initialement proches sur un intervalle de temps suffisamment long.

Ainsi, si on a deux trajectoires $s_1$ et $s_2$ appartenant au voisinage de l'attracteur telles que la distance $d(s_1(t_0),s_2(t_0))=\varepsilon$, et que l'on itère la dynamique sur $T$ pas de temps, le plus grand exposant de Lyapunov est estimé localement comme :

$$\lambda_\mathrm{max}\simeq\frac{1}{T}\ln\left(\frac{d\left(s_1(t_0+T),s_2(t_0+T)\right)}{\varepsilon}\right)$$

Pour $T$, $\varepsilon$ finis, on a donc une limitation sur les valeurs de $\lambda_\mathrm{max}$ que l'on peut calculer.