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Nombre de rotation

Étant donné un signal $ s(t)$, on appelle nombre de rotation $ f$ la quantité $ f=\frac{\bar{\alpha}}{2\pi}$, où $ \bar{\alpha}$ est l'angle moyen formé entre des triplets de points successifs de la dynamique, sur toute la trajectoire dans l'espace des phases. Si $ s(t)$ est mono dimensionnel, le nombre de rotation est également défini dans l'espace de premier retour, auquel cas les coordonnées des points des triplets sont ($ s(t)$, $ s(t+1)$), ($ s(t+1)$, $ s(t+2)$), ($ s(t+2)$, $ s(t+3)$).

Pour une dynamique cyclique, 2 cas se présentent :

Figure 1.2: Différentes représentations d'un même signal $ s(t)$. On a pris pour cet exemple un signal pseudo-périodique $ s(t)=\sin(t)$ (n'oublions pas que $ t$ est discret !). Le diagramme en haut à gauche donne le signal temporel sur 100 pas de temps. On a en haut à droite le spectre de puissance de ce signal, sur lequel la fréquence fondamentale est proche de $ \frac {1}{2\pi }$, correspondant à une pseudo-période $ \tau = 2\pi \simeq 6.28$. Le diagramme de premier retour du signal $ s(t)$ est donné en bas à gauche, tracé à partir de 1000 points de la dynamique. On voit en particulier que le cycle est densément couvert. En bas à droite, on a représenté 6 points successifs reliés par des lignes. On voit qu'après 6 pas de temps, le point de la trajectoire se retrouve à proximité du point initial.
\includegraphics[]{prelim_sigtemp.eps} \includegraphics[]{prelim_spectre.eps}
\includegraphics[]{prelim_cycle.eps} \includegraphics[]{prelim_periode.eps}

Enfin, la valeur de la période (cas rationnel) ou de la pseudo-période (cas irrationnel) est exactement l'inverse du nombre de rotation. La plus petite valeur entière supérieure à la pseudo-période nous donne le nombre de pas de temps nécessaires pour faire un tour complet de l'attracteur.


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Dauce Emmanuel 2003-05-07