Fonction d'auto-corrélation

Considérons un échantillon pour $t=1..T$ d'un signal $s(t)$, mono dimensionnel discret. Pour $\tau=1..T$, et en posant $s(t+T)=s(t)$, la fonction d'auto-corrélation du signal $s$ est donnée par :

$$\psi(\tau)=\frac{1}{T \sigma_s^2}\sum_{t=1}^{T}(s(t)-\bar{s})(s(t+\tau)-\bar{s})$$

où $\bar{s}$ représente la moyenne empirique et $\sigma_s$ l'écart-type du signal $s$.

La fonction d'auto-corrélation mesure les corrélations moyennes associées à des états séparés par un intervalle de temps $\tau$. On voit donc que pour un signal périodique, l'auto-corrélation vaut 1 pour toute valeur de $\tau$ multiple de cette période. Dans le cas d'un signal pseudo-périodique, l'auto-corrélation est proche de 1 pour toute valeur de $\tau$ (entière) se rapprochant d'un multiple de la période dominante (réelle).

Dans le cas de signaux apériodiques ou à périodicité résiduelle, la fonction d'auto-corrélation permet de savoir dans quelle mesure un état passé influence l'état présent. Pour un signal purement aléatoire, la fonction d'auto-corrélation attachée à tout état passé tend vers zéro avec la taille de l'échantillon : le système est ``sans mémoire''.