Propriétés générales et définitions

Un système dynamique est défini par un triplet $D=(X,T,\phi)$, constitué de l'espace d'états $X$, du domaine temporel $T$ et d'une fonction de transition d'état $\phi : X \times T \rightarrow X$, qui possède la propriété : Pour tout $\mathbf{x} \in X$ et $t_1,t_2 \in T$,

$$\left\{ \begin{array}{l} \phi(\mathbf{x},0)=x \phi(\phi(\mathbf{x},t_1),t_2)=\phi(\mathbf{x},t_1+t_2) \end{array} \right.$$ (1)

A partir d'un vecteur de conditions initiales $\mathbf{x}_0$, la fonction $\phi$ permet de définir l'état du système à tout instant. Plus précisément, pour tout $\mathbf{x}_0 \in X$, la trajectoire qui a $\mathbf{x}_0$ pour origine est définie par l'application $\phi_{\mathbf{x}_0} : T \rightarrow X$ telle que $\phi_{\mathbf{x}_0}(t)=\phi(\mathbf{x}_0,t)$. Une trajectoire associe donc à chaque instant un point dans l'espace d'états ; l'ensemble de ces points constitue une courbe appelée orbite de $\mathbf{x}_0$. Le terme « trajectoire » évoque le déplacement d'un mobile au sein d'un espace tridimensionnel. Bien entendu, les variables d'état peuvent représenter bien autre chose que des coordonnées spatiales, mais l'évolution de notre système peut toujours être décrite par une courbe au sein de son espace d'état (également appelé espace des phases). Cette courbe fournit une représentation abstraite de l'évolution du système.