Systèmes dynamiques

Un système dynamique est un modèle permettant de décrire l'évolution au cours du temps d'un ensemble d'objets en interaction. Cet ensemble d'objets est défini par le modélisateur. Définir un système dynamique nécessite de définir deux catégories de descriptions :

• Une représentation d'état. Cette représentation décrit ce qui relève du domaine spatial. Il s'agit d'une liste de variables, qu'on appelle vecteur d'état, permettant de décrire à tout instant notre ensemble d'objet. Le nombre de ces variables est fixé par le nombre de degrés de liberté de notre système, en prenant en compte les liaisons mécaniques et les contraintes solides entre les objets.
• Une fonction de transition. Cette fonction décrit ce qui relève du domaine temporel. Elle décrit toutes les forces, contraintes élastiques, collisions, et plus généralement les échanges d'énergie entre les objets. Cette fonction donne ainsi l'évolution du vecteur d'état entre deux instants $t_1$ et $t_2$.

Un système dynamique est donc la donnée d'un vecteur d'état et d'une fonction de transition. On peut noter que la définition d'un système dynamique, dans la mesure où elle se réfère à une sous-partie du monde, définit également une frontière entre un « intérieur » et un « extérieur » au système. Cet extérieur est constitué par l'ensemble des objets non-décrits par le modèle, qu'on appelle l'environnement du système. On attend classiquement de la part de l'environnement un comportement stationnaire (source chaude, source froide, stimulation périodique, source de bruit, etc...)¹. Si l'action de l'environnement sur le système ne dépend pas du temps, le système est dit autonome² (et dans le cas contraire le système est dit forcé). Un système qui consomme de l'énergie (ou toute autre grandeur assimilable à une énergie) au cours du temps est dit dissipatif.