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Attracteurs

Une fois le système dynamique défini, il est possible, au delà de l'intégration de trajectoires particulières, de considérer un certain nombre de propriétés globales. On peut ainsi considérer le champ de vecteurs qui à chaque point de l'espace associe sa vitesse. A l'instant $ t$, on définit le flot du système par l'application $ \phi_t : X \rightarrow X$ telle que $ \phi_t(x)=\phi(x,t)$. Le flot nous donne ainsi un « instantané » du comportement du système sur tout l'espace. Dans ce cas, on peut noter que pour les systèmes à temps discret, on a $ \phi_t=f$. Si la fonction de transition ne dépend pas du temps (système autonome), le flot est le même à tout instant. Au sein d'un système dissipatif 5, il est parfois possible de définir une (ou plusieurs) applications $ H(\mathbf{x})$, définies sur tout l'espace, appelées fonctions de Lyapunov6. Ces fonctions ont pour propriété d'être strictement décroissantes sur toute trajectoire. Une fonction de Lyapunov est un analogue de l'énergie dans les systèmes physiques. On appelle le champ défini par cette fonction un champ de potentiel. Une trajectoire du système consiste à suivre la ligne de plus grande pente jusqu'à atteindre un minimum d'énergie (comme une bille roulant vers le fond d'une vallée). Le point correspondant à ce minimum d'énergie est appelé un attracteur, qui dans ce cas particulier est un point fixe. Le système dynamique tend (au bout d'un certain temps) à se figer. Les systèmes pour lesquels on ne sait pas définir une fonction de Lyapunov peuvent présenter des attracteurs plus complexes que de simples points fixes. Il existe par exemple de nombreux systèmes naturels qui présentent des comportements oscillatoires qui se maintiennent sur de longues durées (évoquons simplement les battements de coeur ou la respiration dans les systèmes vivants). Lorsqu'après des transitoires, un système maintient une dynamique oscillatoire pour une durée indéfinie, on dit qu'il a atteint un cycle limite. Il existe des structures d'attracteurs plus complexes, de type fractale, auquel cas on parle d'attracteur étrange (voir section suivante). Si plusieurs attracteurs existent au sein de l'espace d'états, chaque attracteur a son propre « bassin d'attraction », qui est un ensemble de conditions initiales qui conduisent la trajectoire vers cet attracteur. Les variétés qui marquent la frontière entre deux bassins sont les séparatrices.
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Dauce Emmanuel 2003-04-02