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Attracteurs
Une fois le système dynamique défini,
il est possible, au delà de l'intégration de trajectoires
particulières, de considérer un certain nombre de propriétés
globales.
On peut ainsi considérer le champ de vecteurs
qui à chaque point de l'espace associe sa vitesse.
A l'instant , on définit le flot du système
par l'application
telle que
.
Le flot nous donne ainsi un « instantané » du comportement du
système sur tout l'espace.
Dans ce cas, on peut noter que pour les systèmes à temps discret, on a
. Si la fonction de transition ne dépend pas
du temps (système autonome), le flot est le même à tout instant.
Au sein d'un système dissipatif 5, il
est parfois
possible de définir une (ou plusieurs) applications
,
définies sur tout
l'espace, appelées fonctions de Lyapunov6. Ces fonctions ont
pour propriété d'être strictement
décroissantes sur toute trajectoire. Une fonction de Lyapunov est un
analogue de l'énergie dans les systèmes physiques. On appelle le
champ défini par cette fonction un champ de potentiel. Une
trajectoire du système consiste à suivre la ligne de plus grande
pente jusqu'à atteindre un minimum d'énergie (comme une bille
roulant vers le fond d'une
vallée). Le point correspondant à ce
minimum d'énergie est appelé un attracteur, qui dans ce cas
particulier est un point fixe. Le système dynamique tend (au bout
d'un certain temps) à se figer. Les systèmes pour lesquels on ne
sait pas définir une fonction de Lyapunov peuvent présenter des
attracteurs plus complexes que de simples points fixes. Il
existe par exemple de nombreux systèmes naturels qui présentent des
comportements oscillatoires qui se maintiennent sur de longues
durées (évoquons simplement les battements de coeur ou la
respiration dans les systèmes vivants). Lorsqu'après des
transitoires, un système maintient une
dynamique oscillatoire pour une durée indéfinie, on dit qu'il a atteint
un cycle limite.
Il existe des structures d'attracteurs plus
complexes,
de type fractale, auquel cas on parle d'attracteur étrange (voir
section suivante).
Si plusieurs attracteurs existent au sein de l'espace d'états, chaque
attracteur a son propre « bassin d'attraction », qui est un ensemble
de conditions initiales qui conduisent la trajectoire vers cet
attracteur. Les
variétés qui marquent la frontière entre deux bassins sont les
séparatrices.
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Dauce Emmanuel
2003-04-02