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Le chaos déterministe

La notion de chaos déterministe, qui trouve ses fondements dans l'article de Lorenz [LorenzLorenz1963], a connu un développement mathématique dans les années 70 [Ruelle TakensRuelle Takens1971] suivi d'un véritable essor scientifique et populaire dans les années 80. Le chaos marque un profond bouleversement dans la manière d'envisager les systèmes dynamiques. Le développement de l'informatique n'est pas étranger au succès rencontré, de par la facilité des simulations et la beauté de certains résultats obtenus. On dit qu'un système dynamique est chaotique s'il présente la propriété de sensibilité aux conditions initiales (SCI). La propriété de SCI se traduit par le fait que la distance entre deux trajectoires tend à augmenter de manière exponentielle au cours du temps, pouvant atteindre une distance limite qui est de l'ordre du diamètre de l'attracteur (au delà d'un certain horizon temporel, le repliement des trajectoires imposé par le caractère borné de l'espace d'états stoppe la divergence exponentielle). Géométriquement, l'attracteur peut être décrit comme le résultat d'une opération d'étirement et de repliement d'un cycle de l'espace des phases, répétée un nombre infini de fois. La « longueur » de l'attracteur est infinie, bien qu'il soit contenu dans un espace fini. Toute condition initiale appartenant au bassin d'attraction produit une trajectoire qui tend à parcourir de façon spécifique et unique cet attracteur. Le système est contraint à évoluer de manière « imprévisible » dans une région bien définie de l'espace des phases. Dans le cas où le système dynamique vise à modéliser un phénomène physique, la propriété de SCI montre la difficulté à prédire le comportement de ce phénomène. En effet, toute mesure effectuée sur une grandeur physique contient un bruit de mesure qui fait que la trajectoire du système modélisé et celle du système réel divergeront au bout d'un temps fini. Aussi précise que soit la modélisation, il est impossible de prédire le comportement du système réel à long terme. On peut ajouter que l'observateur, en effectuant sa mesure, influence nécessairement le système qu'il souhaite modéliser, et modifie donc sa trajectoire : on retrouve un paradoxe du type quantique, mais pour des phénomènes macroscopiques. Il est intéressant de noter que le chaos déterministe apparaît sur des systèmes à petit nombre de variables d'état7. Une condition nécessaire à l'apparition du chaos est que le système soit non linéaire. C'est la complexité des dynamiques produites par des systèmes dont la définition tient en quelques lignes qui a dans un premier temps étonné les chercheurs, et suscité l'essentiel des travaux entrepris sur la question. Pour des systèmes dont le nombre de variables d'état est élevé, l'étude s'est développée plus tardivement. Un système dynamique possède en général un ou plusieurs paramètres dits « de contrôle », qui agissent sur les caractéristiques de la fonction de transition. Selon la valeur du paramètre de contrôle, les mêmes conditions initiales mènent à des trajectoires correspondant à des régimes dynamiques qualitativement différent. La modification continue du paramètre de contrôle peut conduire à une modification de la nature des régimes dynamiques développés dans le système. Il existe plusieurs scénarios qui décrivent le passage du point fixe au chaos. On constate dans tous les cas que l'évolution du point fixe vers le chaos n'est pas progressive, mais marquée par des changements discontinus appelés bifurcations. Une bifurcation marque le passage soudain d'un régime dynamique à un autre, qualitativement différent. On parle également, lors d'une telle transition, d'une perte de stabilité structurelle. La route vers le chaos par quasi-périodicité, dite à la Rue71, est un des scénarios génériques marquant le passage du point fixe au chaos. Elle met en jeu une série de bifurcations menant à des dynamiques de plus en plus complexes. à chaque bifurcation, un nouveau mode se superpose à celui qui est déjà en place, menant d'un cycle limite à un « tore » (deux fréquences superposées), puis enfin au chaos suite à un « accrochage de fréquence » [ArnoldArnold1978]. Il existe d'autres scénarios, comme par exemple la route vers le chaos par doublement de période et les intermittences [Bergé, Pomeau VidalBergé 1988]. Les systèmes chaotiques se distinguent des systèmes purement stochastiques par le fait qu'ils présentent certaines régularités, et n'explorent hors transitoires qu'une faible part de leur espace d'états. La structure fractale de l'attracteur manifeste, en dépit de sa complexité, une forme d'organisation. Une des propriétés les plus remarquables des systèmes chaotiques est leur capacité à adapter leur trajectoire en fonction des perturbations ou stimulations extérieures. Dans le domaine de la biologie particulièrement, il semble prouvé que la dynamique chaotique de certains organes, tels le c\oeur, leur assure une bonne adaptabilité à une brusque sollicitation. Pour ce qui concerne le cerveau, par analogie, une dynamique de nature chaotique serait propice à une adaptabilité rapide aux changements intervenant sur les entrées sensorielles (voir aussi le chapitre de Sener/Bersini sur la question). Il y a néanmoins un contresens à éviter lorsque l'on utilise la notion de chaos dans l'étude de systèmes complexes tels que le cerveau. On a vu en effet que des dynamiques chaotiques d'aspect complexe pouvaient être produites par des systèmes intrinsèquement simples. Le cerveau est quant à lui un système intrinsèquement complexe. La question de la transposition sur ce type de systèmes de notions issues de l'étude de systèmes à nombre très restreint de degrés de liberté pose question. Par ailleurs, même s'il apparaît probable que le chaos intervient au sein de l'activité cérébrale, il n'en explique pas pour autant la complexité de la cognition elle-même. Néanmoins, cette intervention probable du chaos dans la cognition naturelle justifie qu'on le prenne en compte dans la modélisation de processus cognitifs.
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Dauce Emmanuel 2003-04-02