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Le chaos déterministe
La notion de chaos déterministe, qui trouve ses fondements dans
l'article de Lorenz [LorenzLorenz1963], a connu un développement
mathématique dans les années 70 [Ruelle TakensRuelle
Takens1971] suivi d'un
véritable essor scientifique et populaire dans les années 80.
Le chaos marque un profond bouleversement dans la manière
d'envisager les systèmes dynamiques.
Le développement de l'informatique n'est pas étranger au succès
rencontré, de par la facilité des simulations et la beauté de
certains résultats obtenus. On dit qu'un système dynamique est
chaotique s'il présente la
propriété de sensibilité aux conditions initiales (SCI).
La propriété de SCI se traduit par le fait que la distance
entre deux trajectoires tend à augmenter de manière exponentielle
au cours du temps, pouvant atteindre une distance limite qui est de
l'ordre du diamètre de l'attracteur
(au delà d'un certain horizon temporel, le repliement des
trajectoires imposé par le caractère borné de l'espace d'états
stoppe la divergence exponentielle).
Géométriquement, l'attracteur peut être décrit comme le
résultat d'une opération d'étirement et de repliement d'un cycle
de l'espace des phases, répétée un
nombre infini de fois. La « longueur » de l'attracteur est infinie,
bien qu'il soit contenu dans un espace fini.
Toute condition initiale appartenant au bassin d'attraction produit
une trajectoire qui tend à parcourir de façon spécifique et
unique cet attracteur.
Le système est contraint à évoluer de manière
« imprévisible » dans une région bien définie de l'espace des
phases.
Dans le cas où le système dynamique vise à modéliser un
phénomène physique, la propriété de SCI montre la difficulté
à prédire le comportement de ce phénomène.
En effet, toute mesure effectuée sur une grandeur physique contient
un bruit de mesure qui fait que la trajectoire du système
modélisé et celle du système réel divergeront au bout d'un
temps fini.
Aussi précise que soit la modélisation, il est impossible de
prédire le comportement du système réel à long terme.
On peut ajouter que l'observateur, en effectuant sa mesure, influence
nécessairement le système qu'il souhaite modéliser, et modifie
donc sa trajectoire : on retrouve un paradoxe du type quantique, mais
pour des phénomènes macroscopiques.
Il est intéressant de noter que le chaos déterministe apparaît
sur des systèmes à petit nombre de variables d'état7.
Une condition nécessaire à l'apparition du chaos est que le
système soit non linéaire.
C'est la complexité des dynamiques produites par des systèmes dont
la définition tient en quelques lignes qui a dans un premier temps
étonné les chercheurs, et suscité l'essentiel des travaux
entrepris sur la question.
Pour des systèmes dont le nombre de variables d'état est
élevé, l'étude s'est développée plus tardivement.
Un système dynamique possède en général un ou plusieurs
paramètres dits « de contrôle », qui agissent sur les
caractéristiques de la fonction de transition.
Selon la valeur du paramètre de contrôle, les mêmes conditions
initiales mènent à des trajectoires correspondant à des
régimes dynamiques qualitativement différent.
La modification continue du paramètre de contrôle peut conduire à
une modification de la nature des régimes
dynamiques développés dans le système. Il existe plusieurs
scénarios qui décrivent le passage du point
fixe au chaos.
On constate dans tous les cas que l'évolution du point fixe vers le
chaos n'est pas progressive, mais marquée par des changements
discontinus appelés bifurcations.
Une bifurcation marque le passage soudain d'un régime dynamique à
un autre, qualitativement différent.
On parle également, lors d'une telle transition, d'une perte de
stabilité structurelle.
La route vers le chaos par quasi-périodicité, dite à la
Rue71, est un des
scénarios génériques marquant le passage du point fixe au
chaos.
Elle met en jeu une série de bifurcations menant à des dynamiques
de plus en plus complexes.
à chaque bifurcation, un nouveau mode se superpose à celui qui est
déjà en place, menant d'un cycle limite à un « tore » (deux
fréquences superposées), puis enfin au chaos suite à un « accrochage
de fréquence » [ArnoldArnold1978].
Il existe d'autres scénarios, comme par exemple la route vers le chaos par
doublement de période et les intermittences [Bergé, Pomeau VidalBergé
1988].
Les systèmes chaotiques se distinguent des systèmes purement
stochastiques
par le fait qu'ils présentent certaines régularités, et
n'explorent hors transitoires
qu'une faible part de leur espace d'états.
La structure fractale de l'attracteur manifeste, en dépit de sa
complexité, une forme d'organisation.
Une des propriétés les plus remarquables des systèmes chaotiques est
leur capacité à adapter leur trajectoire en fonction
des perturbations ou stimulations extérieures.
Dans le domaine de la biologie particulièrement, il semble prouvé
que la dynamique chaotique de certains organes, tels le cur, leur
assure
une bonne adaptabilité à une brusque sollicitation.
Pour ce qui concerne le cerveau, par analogie,
une dynamique de nature chaotique serait propice à une
adaptabilité rapide aux changements intervenant sur les entrées
sensorielles (voir aussi le chapitre de Sener/Bersini sur la question).
Il y a néanmoins un contresens à éviter lorsque l'on utilise la
notion de chaos dans l'étude de systèmes complexes tels que le
cerveau.
On a vu en effet que des dynamiques chaotiques d'aspect complexe
pouvaient être produites par des systèmes intrinsèquement
simples.
Le cerveau est quant à lui un système intrinsèquement complexe.
La question de la transposition sur ce type de systèmes de notions
issues de l'étude de systèmes à nombre très restreint de
degrés de liberté pose question.
Par ailleurs, même s'il apparaît probable que le chaos intervient
au sein de l'activité cérébrale, il n'en explique pas pour
autant la complexité de la cognition elle-même.
Néanmoins, cette intervention probable du chaos dans la cognition
naturelle justifie qu'on le prenne en compte dans la modélisation de
processus cognitifs.
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Dauce Emmanuel
2003-04-02