Permanence du circuit d'activation avec $g$

On a vu qu'une des propriétés intéressantes de la configuration spatiale est sa relative permanence par rapport au régime dynamique qui se développe dans le réseau (indépendance en $g$). On cherche à mettre en évidence de la même façon une certaine permanence de la configuration dynamique par rapport à $g$, au moins sur la plage de valeurs qui conduit de la déstabilisation au chaos léger.

On a vu que la période issue de la déstabilisation se maintient sur une large plage de valeurs de $g$, qui va de la déstabilisation au chaos léger. Il paraît raisonnable de penser que le circuit d'activation se maintient sur la même plage de valeurs, et en particulier dans le cas du chaos léger que la période résiduelle peut être mise en correspondance avec un circuit d'activation résiduel.

Pour assigner à chaque signal d'activation une phase discrète, on considère le signal $s_i(t)$ qui vaut 1 si $x_i(t)-x_i(t-1)>0$ et $x_i(t+1)-x_i(t)<0$, et zéro sinon. Ce signal marque le moment où le signal d'activation passe par un maximum (la ``dérivée'' s'annule). On obtient ainsi une représentation synthétique sur la phase de tous les signaux d'activation du réseau (voir figure 3.17).

Pour étudier l'invariance du circuit d'activation, on prendra pour référence le circuit qui se forme à la déstabilisation. En se fondant sur le signal $s_i(t)$, on détermine un classement sur les indexations : on représente côte à côte les neurones dont les phases sont très corrélées.

Au fur et à mesure que $g$ augmente, le signal perd sa régularité initiale et des fréquences ``concurrentes'' apparaissent. La dérivée des signaux tend à s'annuler plusieurs fois sur la durée d'une période. Pour les régimes toriques, et à plus forte raison chaotiques, le signal $s_i(t)$ présente un certain nombre de points parasites.

Si on classe les neurones selon le classement qui a été établi à la déstabilisation du réseau, on constate que l'organisation initiale se maintient, même en régime chaotique proche de la frontière du chaos. Les mêmes neurones présentent une tendance à atteindre leur maximum au même moment, c'est à dire à être en phase. Pour des valeurs plus élevée de $g$, et un chaos plus profond, la structure dynamique disparaît. Le circuit d'activation survit donc tant que la dynamique garde une périodicité résiduelle.

Figure 3.17: Signaux de phase. On a représenté les signaux de phase d'un même réseau pour différents régimes dynamiques : cycle limite ($g=7.6$), tore ($g=8.3$), frontière du chaos ($g=8.4$), chaos profond ($g=8.6$). Le classement sur l'index des neurones a été effectué en fonction du signal de phase sur le régime cyclique. On voit que la structure dynamique qui se met en place à la déstabilisation persiste en régime torique et à la frontière du chaos, et disparaît dans le chaos profond. À titre indicatif, les diagrammes de premier retour de $m_N(t)$ ont été représentés à côté des signaux de phase. Paramètres : $T=60$, $N=200$, $\bar{\theta}=0.1$, $\sigma _\theta =0.1$, $\bar{J}=0$, $\sigma _J=1$.