Route vers le chaos par quasi-périodicité

La route vers le chaos par quasi-périodicité est un des scénarios génériques marquant le passage du point fixe au chaos. Elle met en jeu une série de bifurcations menant à des dynamiques de plus en plus complexes. On peut, pour simplifier l'exposé, considérer que toutes les bifurcations sont des bifurcations de Hopf.

On a vu que lors d'une bifurcation de Hopf, l'angle $\alpha$ formé entre deux points successifs de la trajectoire prend continûment ses valeurs entre 0 et $\pi$. Dans le cas où l'angle est une fraction rationnelle de $\pi$, la trajectoire passe par un nombre fini de points, et repasse au bout d'un temps fini par le même point. Cette trajectoire est strictement périodique. Dans le cas le plus général où l'angle n'est pas une fraction rationnelle de $\pi$, le cycle est densément couvert, et la trajectoire ne repasse jamais par le même point. La trajectoire est alors dite pseudo-périodique. C'est le type de trajectoire couramment rencontré après une première bifurcation de Hopf.

À chaque bifurcation, une nouvelle périodicité se superpose à celle qui est déjà en place. Selon le nombre de fréquences présentes dans le spectre, on parle en effet de tore ${\mathcal T}1$ (cycle limite), de tore ${\mathcal T}2$ (2 cycles superposés), de tore ${\mathcal T}3$ (3 cycles superposés), etc ... Partant d'un point fixe, deux bifurcations de Hopf successives mènent ainsi à une dynamique qualifiée de tore ${\mathcal T}2$. Ce tore correspond à une surface fermée dans l'espace des phases, densément couverte par les points de la dynamique. On voit donc se dessiner un scénario par bifurcations successives :

Point fixe$$\rightarrow$$   Cycle limite$$\rightarrow$$   Tore $${\mathcal T}2 \rightarrow$$   Tore $${\mathcal T}3 \rightarrow$$   etc...

Néanmoins, au fur et à mesure que la dynamique se complexifie, une tendance à l'accrochage de fréquence (ou résonnance) se manifeste.

Lorsque la dynamique est un tore ${\mathcal T}2$ engendré par deux cycles limites, les deux cycles en présence tendent à entrer dans un rapport rationnel, c'est à dire à se synchroniser. Cette tendance à l'accrochage devient de plus en plus forte au fur et à mesure que l'on fait évoluer le paramètre de contrôle dans le sens qui conduit à plus de complexité. Le passage du tore à l'accrochage de fréquence ne constitue pas à proprement parler une bifurcation, car la dynamique n'est pas qualitativement modifiée. Simplement, le rapport entre les deux fréquences principales de l'attracteur est un rapport rationnel, et le tore n'est plus densément parcouru. La probabilité pour que les deux fréquences se trouvent dans un rapport rationnel augmente au fur et à mesure que l'on se rapproche de la frontière du chaos (et vaut 1 à la frontière du chaos). L'accrochage de fréquence est générique, bien décrit sur des applications simples telles l'application d'Arnold [10]. Il précède de peu une nouvelle bifurcation qui fait basculer la dynamique dans un régime chaotique.

Le scénario par cascade de bifurcations est ainsi court-circuité par l'accrochage de fréquence et l'irruption du chaos. On a alors le scénario générique :

Point fixe$$\rightarrow$$   Cycle limite$$\rightarrow$$   Tore$${\mathcal T}2 \rightarrow$$   Accrochage de fréquence$$\rightarrow$$   Chaos

Ce modèle de route vers le chaos est celui auquel on fera référence plus loin. (route par quasipériodicité dite à la Ruelle-Takens [7]). Il en existe d'autres, comme par exemple la route vers le chaos par doublement de période et les intermittences [8].