Linéarisation au voisinage d'un point fixe

On considère un système dynamique à temps discret, pour lequel la fonction de transition est définie à l'aide de l'application $h$, supposée non linéaire. On considère un point fixe attracteur $x^*$, et on étudie le comportement du système au voisinage de ce point fixe lorsque l'on modifie continûment le paramètre de contrôle $g$.

À proximité d'un point fixe, on peut linéariser la récurrence en négligeant les termes du second ordre. L'application linéarisée $D(x^*)$ s'appelle la jacobienne du point considéré. Elle décrit de façon satisfaisante le comportement du système au voisinage de ce point : $x(t+1)\simeq D(x^*) x(t)$.

L'évolution de la jacobienne au point fixe, lorsque l'on modifie continûment le paramètre de contrôle $g$, nous donne des indications précieuses sur les caractéristiques du flot au voisinage du point fixe : rotations et homothéties dans les différentes directions de l'espace. Lorsque l'on calcule les valeurs propres de la Jacobienne, on obtient pour chaque direction propre une transformation de type rotation/homothétie ^1.1.

Si, au voisinage du point fixe, toutes les valeurs propres de la jacobienne ont une norme inférieure à 1, alors toutes les directions sont contractantes : la distance entre deux points successifs de la récurrence tend à diminuer, au fur et à mesure qu'ils se rapprochent du point fixe.

Lorsque l'on modifie continûment le paramètre de contrôle $g$, on trouve dans de nombreux systèmes une valeur $g_c$ critique au delà de laquelle il existe un couple de valeurs propres complexes conjuguées (ou une valeur propre réelle unique) dont la norme dépasse la valeur 1. Cette valeur $g_c$ constitue un point de bifurcation. Au delà de ce point, le système tend à dilater la trajectoire : deux points successifs de la trajectoire tendent à s'éloigner. Dans le cas d'un système linéaire, l'application divergerait. Dans le cas d'un système non-linéaire, les termes de degré supérieur à 1 cessent d'être négligeables et contraignent la trajectoire à rester dans une région finie de l'espace d'états (repliement).

Dans le cas d'un système à temps discret générique, 3 cas peuvent se produire [9] :

• Les deux valeurs propres sont complexes conjuguées. On a alors une bifurcation de Hopf. La dynamique atteint un régime périodique (ou pseudo périodique) dont l'angle de rotation est donné par l'angle formé entre une de ces valeurs propres et l'axe des réels. L'orbite de la trajectoire décrit alors une courbe fermée dans l'espace des phases appelée cycle limite. C'est la bifurcation la plus fréquemment rencontrée dans ce genre de système.
• La valeur propre est réelle et vaut 1 au point de bifurcation. Selon le système, différentes bifurcations peuvent se produire : bifurcation nud-col, bifurcation fourche, bifurcation transcritique. Ces bifurcations se caractérisent par la déstabilisation du point fixe initial et l'apparition d'un ou plusieurs autres points fixes stables.
• La valeur propre est réelle et vaut -1 au point de bifurcation. On a une bifurcation flip. Cette bifurcation se caractérise par un régime oscillant de période 2. Elle correspond en fait à une bifurcation de Hopf dont l'angle de rotation vaut exactement $\pi$.

Ainsi, les bifurcations de Hopf et flip mènent à un comportement dynamique et les bifurcations d'un autre type provoquent l'apparition de nouveaux points fixes stables.