Valeur de déstabilisation

On a vu que la valeur $g_{dest}$ de déstabilisation est extrêmement variable d'un réseau à l'autre. Même pour $N$ assez élevé (pour $N=200$, par exemple), l'incertitude sur la valeur de $g_{dest}$ pour un réseau donné reste très grande.

Il est possible de mesurer l'évolution de la répartition de ces valeurs de déstabilisation lorsque l'on augmente la taille du système. La figure 2.16 donne cette répartition empirique sur les valeurs de $g_{dest}$ mesurées sur 500 réseaux de 50, 100 et 200 neurones. Pour effectuer une telle mesure, on a besoin de se placer en régime de point fixe afin de connaître la valeur de ce point fixe $x^*$ qui permet de calculer la jacobienne. Pour chaque réseau, on part d'une valeur de $g$ faible ($g=2$), et on augmente progressivement cette valeur (par pas de 0.05) jusqu'à ce que la plus grande valeur propre de la jacobienne dépasse la valeur 1. Pour chaque valeur de $N$, on réitère cette opération sur 500 systèmes différents définis selon les mêmes paramètres. Ces 500 valeurs sont ensuite réparties sur un histogramme.

Figure 2.16: histogrammes des valeurs de $g_{dest}$ pour $N=50$ (à gauche), $N=100$ (au centre) et $N=200$ (à droite), sur la base de 500 mesures par figure, avec des réseaux définis selon $\bar{\theta}=0$, $\sigma _\theta =0$, $\bar{J}=0$, $\sigma _J=1$.

On voit que la majorité des réseaux se déstabilise sur une plage de valeurs comprise entre $g=2$ et $g=8$. On a une courbe asymétrique, avec une ``trainée'', correspondant à une minorité de réseaux se déstabilisant tardivement. La médiane d'entrée en déstabilisation (la valeur pour laquelle 50% des réseaux sont déstabilisés) vaut 4.92 pour $N=50$, 4.58 pour $N=100$, et 4.52 pour $N=200$. On observe un resserrement de la répartition. Plus la taille augmente, plus les réseaux tendent à se déstabiliser sur une plage de valeurs étroite.