Attracteurs

Au sein d'un système dissipatif, tout ensemble de conditions initiales appartenant à un volume donné converge vers un ensemble de volume nul, appelé attracteur. Un attracteur est défini comme :

• Un ensemble $A \subset X$ de volume nul invariant par le flot. Autrement dit, tout point de l'espace d'état qui appartient à un attracteur demeure à l'intérieur de cet attracteur pour tout $t$.
• Il existe un ensemble $B \supset A$, tel que pour tout voisinage de $A$, la trajectoire qui prend son origine dans $B$ se retrouve au bout d'un temps fini dans ce voisinage de $A$. Autrement dit, toute trajectoire qui a son origine dans $B$ tend à converger vers l'attracteur. Cette ``zone d'influence'' est appelée bassin d'attraction.
• Un attracteur est indécomposable, c'est à dire que la réunion de deux attracteurs n'est pas un attracteur.

Il faut noter qu'en fonction du système, l'attracteur peut être un point, un cycle limite, un tore, ou avoir une structure encore plus complexe de type fractale, auquel cas on parle d'attracteur étrange. Lorsque l'attracteur est un point, on parle de point fixe : le système dynamique tend à se comporter de manière statique. Lorsque l'attracteur est un cycle limite, le système présente un comportement oscillatoire qui se maintient sur le long terme. Lorsque l'attracteur est étrange la trajectoire sur l'attracteur est complexe et manifeste la propriété de sensibilité aux conditions initiales (voir paragraphe suivant).

Si le système possède un seul attracteur, le bassin d'attraction est l'espace d'état tout entier $X$. Si plusieurs attracteurs existent au sein de l'espace d'états, les variétés qui marquent la frontière entre deux bassins sont les séparatrices.