Propriétés générales et définitions

Un système dynamique est défini par un triplet $D=(X,T,\phi)$, constitué de l'espace d'états $X$, du domaine temporel $T$ et d'une fonction de transition d'état $\phi : X \times T \rightarrow X$, qui possède la propriété :

Pour tout $x \in X$ et $t,\tau \in T$,

$$\left\{ \begin{array}{l} \phi(x,0)=x \\ \phi(\phi(x,t),\tau)=\phi(x,t+\tau) \end{array}\right.$$

La fonction $\phi$ décrit la façon dont le système évolue au cours du temps. Si cette fonction ne dépend pas du temps, le système est autonome. La taille de $X$ (nombre de variables d'état) est $N$. On l'appelle aussi $N$ l'ordre du système.

Le choix de l'espace temporel $T$ est décisif, et dépend en général du phénomène que l'on souhaite modéliser. Si $T=\mathbb{R}^+$, le système est dit à temps continu, et si $T=\mathbb{N}$, le système est dit à temps discret.

• Les systèmes à temps continu servent en général à décrire l'évolution de grandeurs physiques. Une équation différentielle de type

  $$\frac{dx(t)}{dt}=F(x(t)), \hspace{0.5cm} x(0)=x_0, \hspace{0.5cm} x(t) \in X \mathbb{R}^N.$$ (1.1)

  
  
  permet de définir un système dynamique à temps continu $D=(X,\mathbb{R}^+,\phi)$ où $\phi$ est la solution de (1.1)

  $$\phi(x,t)=\phi(x,0)+\int_0^t F(x(s)) ds, \hspace{0.5cm} \phi(x,0)=x.$$ (1.2)

  
  

• Le formalisme des systèmes à temps discret est utile, entre autres, pour décrire le comportement des systèmes de traitement de l'information comme les réseaux de neurones. Il est usuel de définir un système à temps discret à l'aide d'une application $h : X \rightarrow X$ qui définit un système dynamique $D=(X,\mathbb{N},\phi)$ où $\phi$ est donné par des itérations de $h$
  $$\phi(x,t)=h^t(x)$$
  Pour la suite de ce travail, le système étudié sera un système à temps discret, c'est pourquoi nous privilégierons les notations de type temps discret pour décrire les propriétés des systèmes dynamiques.

Quelques définitions :

• Pour tout $x \in X$, la trajectoire qui a $x$ pour origine est définie par l'application $\phi_x : T \rightarrow X$ telle que $\phi_x(t)=\phi(x,t)$. Le terme trajectoire est issu de la physique classique dans le cas où les variables d'état sont les coordonnées d'un point matériel dans un espace à 3 dimensions. Lorsque les variables d'état représentent des grandeurs autres que des coordonnées spatiales, il est néanmoins possible de représenter les trajectoires au sein de l'espace d'état, également appelé espace des phases. Par ailleurs, on appelle orbite de $x$ l'ensemble d'états $\Gamma(x)=\{\phi_x(t)\vert t \in T\}$.
• À l'instant $t$, on définit le flot du système par l'application $\phi_t : X \rightarrow X$ telle que $\phi_t(x)=\phi(x,t)$. Pour les systèmes à temps discret, on a $\phi_t=h$.