Répartition de la période

La configuration spatiale à la déstabilisation détermine les valeurs propres dominantes conjuguées, $\lambda$ et $\lambda^*$, dont les parties réelles et imaginaires permettent de déterminer un angle $\alpha$ compris entre 0 et $\pi$. Cette valeur d'$\alpha$ donne accès à la période de la dynamique qui vaut $\tau=2\pi/\alpha$.

Cette période peut a priori prendre ses valeurs entre 2 et $+\infty$. Dans l'approximation où la probabilité d'apparition d'un angle $\alpha$ est uniformément répartie^3.2 sur $[0,\pi]$, la fonction de répartition de la période $\tau \leq x$, pour $x \in [2,+\infty[$ est donnée par :

$${\mathcal P}(\tau \leq x)=\frac{x-2}{x}$$

Ce qui donne comme densité $f(x)=2/{x^2}$.

On voit donc que :

• Il n'y a pas de limite supérieure sur les valeurs possibles de la période.
• La probabilité d'apparition d'une période $\tau$ est inversement proportionnelle à sa longueur.

On a représenté sur la figure 3.5 la répartition empirique des périodes mesurées sur 1000 réseaux en dynamique spontanée à la déstabilisation.

Figure 3.5: Répartition empirique des périodes à la déstabilisation. On a tracé en pointillé la densité théorique $f(x)=2/{x^2}$. Mesure sur 1000 réseaux. Paramètres : $N=200$, $\bar{\theta}=0$, $\sigma _\theta =0$, $\bar{J}=0$, $\sigma _J=1$.

La densité empirique trouvée est proche de la densité théorique, c'est à dire que la répartition de l'angle $\alpha$ sur $[0,\pi]$ est proche de l'uniformité. On constate une légère surdensité pour les périodes proches de 2 (qui correspond à la bifurcation Flip), ainsi que pour les périodes proches de 4, compensées en partie par une sous-densité sur les périodes proches de 3.