Route par quasi-périodicité inverse

On a tracé, à taille finie, une courbe analogue à la ligne de bifurcation obtenue à la limite thermodynamique. La taille finie permet de prendre en compte la largeur de la plage de déstabilisation (c'est à dire l'intervalle entre $g_{dest}$ valeur de déstabilisation et $g_{chaos}$ valeur d'entrée dans le chaos). Cette courbe se fonde sur les comportements observés sur 50 réseaux de 200 neurones tirés aléatoirement. Sur chacun de ces réseaux, on mesure la valeur de $g_{chaos}$ (méthode du plus grand exposant de Lyapunov), ainsi que la valeur de $g_{dest}$ (déstabilisation de la jacobienne), pour des motifs dont l'écart-type $\sigma _I$ varie entre 0 ( pas de motif) et 1. Pour chaque $\sigma _I$, ces valeurs sont moyennées sur les 50 réseaux. On obtient la figure 3.21.

Figure 3.21: Mesure empirique de la plage de déstabilisation. Chaque mesure est effectuée sur 50 réseaux de taille $N=200$. $\sigma _I$ est en abcisse et $g$ en ordonnée. Ligne pleine : valeur moyenne d'entré en déstabilisation. Ligne pointillée : valeur moyenne d'entrée dans le chaos. Ligne alternée : valeur théorique de déstabilisation. Paramètres : $\bar{I}=0$, $\bar{\theta}=0$, $\sigma _\theta =0$, $\bar{J}=0$, $\sigma _J=1$.

On voit donc :

• Pour $\sigma_I<0.5$, les valeurs empiriques de déstabilisation sont très proches de la valeur théorique. La longueur de la plage de transition $g_{chaos}-g_{dest}$ vaut à peu près 1.
• Pour $\sigma_I>0.5$, la valeur de déstabilisation empirique dépasse nettement la valeur de déstabilisation théorique. Cette moins bonne convergence provient du fait que les valeurs de $\sigma _I$ tendent à produire une configuration spatiale fortement corrélée au motif présenté (voir section 3.1.4). La valeur de déstabilisation dépend donc fortement de l'aléa du motif, dont les fluctuations par rapport à la loi sont plus grandes que celles de l'aléa des connexions ($N$ valeurs aléatoires pour le motif, $N^2$ valeurs aléatoires pour les connexions).

En tenant le même raisonnement que précédemment, on voit que l'augmentation de l'écart-type $\sigma _I$ d'un motif donné (déplacement vers la droite du diagramme) tend à induire une route par quasi-périodicité inverse. La seule différence est que dans ce cas, on ne garde pas l'homogénéité de la période fondamentale et de l'organisation dynamique.

La figure 3.22 permet mettre en évidence cette route par quasi-périodicité inverse sur un exemple particulier. Un motif $I_{ref}$ qui nous sert de référence est tiré selon une loi normale centrée. La figure donne l'évolution de la dynamique contrainte par le motif $I=\sigma_I I_{ref}$, pour des valeurs croissantes de $\sigma _I$. Une simplification de la dynamique est ainsi mise en évidence. Celle-ci aboutit dans tous les cas à un point fixe (qui n'est pas montré sur la figure).

Figure 3.22: Route par quasi-périodicité inverse. à $g$ fixé, on augmente l'intensité du motif d'entrée selon le paramètre $\sigma _I$. On présente les diagrammes de premier retour du signal $m_N(t)$ pour $\sigma _I=0.14$ (frontière du chaos), $\sigma _I=0.143$ (cycle double - correspondant à une bifurcation flip -) et $\sigma _I=0.15$ (cycle limite). Paramètres : $g=5$, $N=200$, $\bar{I}=0$, $\bar{\theta}=0$, $\sigma _\theta =0$, $\bar{J}=0$, $\sigma _J=1$.

Ce comportement systématique de simplification de la dynamique pour $\sigma _I$ croissant observé sur les motifs centrés se complique singulièrement lorsque l'on effectue la même opération sur des motifs non centrés, avec un facteur de dilatation sur la dispersion $I=\bar{I}+\sigma_I I_{ref}$.

Sur un réseau donné, on voit que la valeur d'entrée dans le chaos varie de manière non-monotone lorsque l'on augmente $\sigma _I$. Le comportement non-monotone de la figure 3.23) peut être comparé avec le comportement monotone croissant obtenu à la limite thermodynamique de la figure 3.19 (sachant que ce comportement monotone croissant se maintient pour la valeur $\bar{I}=-0.1$ utilisée). Ainsi, lorsque l'on augmente $\sigma _I$ à $g$ fixé (par exemple $g=7$), on peut observer des allers retours entre des régimes chaotiques, cycliques et de point fixe.

Figure 3.23: Diagramme de réactivité sur un réseau de 100 neurones pour un motif aléatoire. En abcisse : écart-type du motif, en ordonnée : valeur de déstabilisation du réseau. Les valeurs de $g_{dest}$ supérieures à 8 ne sont pas représentées. Paramètres : $\bar{I}=-0.1$, $\bar{\theta}=0$, $\sigma _\theta =0$, $\bar{J}=0$, $\sigma _J=1$.

Sachant que la valeur de déstabilisation dépend fortement de la configuration spatiale et donc des valeurs des potentiels $u_i^*$, on a ici l'illustration du fait que la dilatation d'un motif non centré a des répercussions très variées sur cette configuration spatiale, et donc sur l'effectif des neurones actifs qui entretiennent la dynamique. L'augmentation de $\sigma _I$ fait transiter les neurones à travers la zone où ils sont actifs dynamiquement (c.à.d où leur potentiel moyen est proche de zéro). L'augmentation de $\sigma _I$ produit ainsi un renouvellement de l'effectif des neurones actifs qui peut induire le développement de régimes dynamiques nouveaux.