Effet d'un motif sur le régime à la limite thermodynamique

L'étude de la divergence des trajectoires individuelles à la limite thermodynamique permet de mettre en évidence une variété de bifurcation entre un régime stable (point fixe) et un régime instable (chaos) dans l'espace des paramètres macroscopiques ($g$, $\bar{J}$, $\sigma_J$, $\bar{\theta}$, $\sigma _\theta$) (voir page ). On a déjà noté l'analogie formelle entre un motif statique gaussien $I$ et un seuil gaussien $\theta$. À la limite thermodynamique, la présentation d'un motif gaussien de moyenne $\bar{I}$ et d'écart-type $\sigma _I$ revient alors à un déplacement dans l'espace des paramètres macroscopiques, selon les directions $-\bar{\theta}$ et $\sigma _\theta$. Présenter un motif gaussien revient donc à rajouter un seuil.

La figure 3.20 montre l'évolution de la valeur théorique de $g_{dest}$ en fonction de l'écart-type $\sigma _I$ du motif, lorsque les paramètres qui définissent les seuils sont $\bar{\theta}=0$ et $\sigma _\theta =0$. Cette courbe est une coupe de la variété de bifurcation présentée figure 2.19 par le plan $\bar{\theta}=0$.

Figure 3.20: valeur théorique de déstabilisation pour des motifs gaussiens. La valeur de $g_{dest}$ marque la frontière entre régime de point fixe et régime chaotique, à la limite thermodynamique, en fonction de l'écart-type du motif $\sigma _{I}$. Paramètres : $\bar{I}=0$, $\bar{\theta}=0$, $\sigma _\theta =0$, $\bar{J}=0$, $\sigma _J=1$.

Cette courbe peut être facilement mise en rapport avec les simulations : l'augmentation de $\sigma _I$ tend à augmenter la valeur de déstabilisation. La présentation d'un motif statique gaussien correspond à un déplacement vers la droite (à $g$ fixé) dans cet espace. À $g$ fixé, il existe une valeur critique de $\sigma _I$ au delà de laquelle la dynamique passe du régime chaotique au régime de point fixe. Ramenée à des réseaux de taille finie, cette propriété traduit le fait que plus $\sigma _I$ est élevé, plus les motifs statiques tirés selon ($\bar{I}$, $\sigma _I$) auront tendance à provoquer un effondrement de la dynamique.