Chaos dans les systèmes de grande taille

Après avoir appliqué les méthodes de la physique statistique aux réseaux de Hopfield, Sompolinsky se penche sur des modèles plus proches de la biologie, en particulier des modèles aléatoires à connexions asymétriques [77]. Le modèle qu'il propose est à temps continu, défini par les équations (1.4).

$$\left\{ \begin{array}{l} \displaystyle{\frac{du_i}{dt}=-u_i(t)+\sum_{j=1}^{N}J_{ij}x_j(t)}\\ \displaystyle{x_i(t)=f_g(u_i(t))} \end{array} \right.$$ (1.4)

La fonction de transfert $f_g(u)=\mathrm{tanh}(gu)$ est une fonction symétrique, à valeurs sur $]-1,1[$. Le système est de taille $N$, et le paramètre de contrôle est le gain $g$. Les poids synaptiques sont des variables aléatoires indépendantes, gaussiennes centrées d'écart-type $\sigma_J/\sqrt{N}$.

Les équations de champ moyen de ce système sont obtenues par la méthode dite du champ moyen dynamique. Les auteurs s'intéressent à la loi générique des $u_i(t)$, observée sur un grand nombre de réseaux différents. Ils montrent que cette loi tend vers une loi gaussienne pour $N$ croissant. Par ailleurs, l'influence des termes de couplage $J_{ij}$ tend à disparaître lorsque la taille croît et les neurones tendent à se comporter de façon indépendante. Deux régimes dynamiques sont mis en évidence pour les systèmes de grande taille :

• Si $g\sigma_J <1$, le système est statique, et le point fixe est 0.
• Si $g\sigma_J >1$, le système est chaotique, au sens où tous les neurones tendent à produire des signaux décorrélés. Ce comportement correspond à taille finie au chaos déterministe, avec une propriété de sensibilité aux conditions initiales.