Synchronisation

L'étude du comportement dynamique des équations de champ moyen permet de mettre en évidence un comportement nouveau, qui n'était pas présent dans le modèle à une seule population. Il existe en effet des paramètres pour lesquels la loi $P^{(p)}(t)$ ne tend pas vers un point fixe ${P^{(p)}}^*$, mais au contraire entretient une dynamique, qui peut être oscillante (voir section 2.3.2), ou plus complexe (voir section 2.3.3). Les observables macroscopiques $m^{(p)}(t)$, $q^{(p)}(t)$, $\mu^{(p)}(t)$ ou $\nu^{(p)}(t)$ ont alors les caractéristiques d'un signal non-constant au cours du temps. En ce sens, le système global n'est plus stationnaire. Ramené à un système de taille finie, cette non-stationnarité signifie qu'une mesure statistique sur la loi des activations à deux instants $t$ et $t'$ ne donne plus nécessairement les mêmes résultats. Ce comportement non stationnaire de la moyenne $m^{(p)}(t)$ en particulier peut être relié à la notion de synchronisation.

Formellement, sur un système dynamique comportant un nombre $N$ de variables d'état, on dit que tout ou partie de ces variables sont synchronisées si les signaux produits sont corrélés temporellement. Pour les neurones biologiques, cela signifie que les neurones tendent à tirer de manière simultanée. Sur les systèmes de grande taille ($N$ grand), la mise en évidence de comportements individuels synchronisés se fonde sur l'écart-type du signal moyen $m_N(t)$. En effet, si les $N$ signaux individuels sont indépendants, et si de plus ils obéissent à une même loi $Q_N$ (de moyenne $m_N$) à chaque instant $t$, alors d'après le théorème central limite, les fluctuations du signal moyen $m_N(t)$ autour de la moyenne $m_N$ tendent à décroître en $1/\sqrt {N}$ quand $N$ croît. Connaissant la loi des signaux individuels, il est possible d'estimer la valeur de l'écart-type attendu sur le signal $m_N(t)$ si les neurones ne sont pas synchronisés. Si les oscillations du signal $m_N(t)$ dépassent significativement cet écart-type, alors les signaux individuels peuvent être considérés comme synchronisés. Cette idée est exposée dans [90] [24]. Une illustration de ce phénomène est donnée sur la figure 2.20.

Figure 2.20: Effet de la synchronisation individuelle sur l'amplitude du signal moyen. - a - Les signaux individuels se synchronisent au cours du temps - b - Les signaux individuels restent décorrélés. Extrait de [11].

À la limite thermodynamique, une valeur constante de la loi limite $P^{(p)}$ (soit $P^{(p)}(t)={P^{(p)}}^*$ pour les temps longs) traduit un comportement non-synchronisé des neurones individuels. Au contraire, toute évolution non constante au cours du temps de la loi limite $P^{(p)}(t)$ traduit un comportement synchronisé sur les neurones individuels.

Dans le système (2.6) qui définit l'opérateur de champ moyen, le régime dynamique est qualifié de régime synchrone lorsque les signaux $\mu^{(p)}(t)$ (moyenne sur les potentiels) ou $m^{(p)}(t)$ (moyenne sur les activations) sont non-statiques pour les temps longs. Il est qualifié de régime asynchrone dans le cas contraire.

Remarque : si l'on se réfère à l'hypothèse de chaos local telle qu'elle a été définie dans un premier temps page , on constate que dans le cas d'une dynamique synchronisée, les signaux individuels des neurones ne sont plus indépendants au sein d'un même système. Ceci n'est pas en contradiction avec la propriété d'indépendance démontrée dans le cadre de la propagation du chaos. En effet, la propagation du chaos décrit une indépendance sur l'aléa : si l'on considère un grand nombre de réseaux, et qu'à l'instant $t_m$ on extrait de chaque réseau la valeur d'un potentiel $u_i^{(p)}(t_m)$, alors cette valeur obéit à un tirage indépendant selon la loi $P^{(p)}(t_m)$. À l'instant $t_m$, tous les neurones prennent leurs valeurs indépendamment autour de la moyenne $\mu^{(p)}(t_m)$ et selon la variance $\nu^{(p)}(t_m)$.