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Routes vers le chaos

La déstabilisation du système nous fait entrer de plein pied dans le comportement à proprement parler dynamique du réseau. S'il était besoin de le préciser, le terme dynamique désigne un système capable de produire des signaux non constants avec le temps. La forme des trajectoires produites détermine le régime dynamique du système.

La plupart des réseaux ont qualitativement le même comportement dynamique lorsque l'on augmente le paramètre de gain $ g$. Le système décrit une route vers le chaos par quasi-périodicité (voir page [*]). La présence d'une telle route dans notre modèle illustre la généricité du phénomène de route vers le chaos [78]. Une succession de régimes dynamiques, dont la complexité augmente, mène le système du point fixe au chaos. La transition d'un régime dynamique à un autre passe par des paliers bien déterminés, appelés bifurcations, correspondant à une valeur critique du paramètre $ g$, et marquant la frontière entre des dynamiques qualitativement différentes. En conformité avec le scénario classique [7], ces régimes dynamiques sont un cycle (une seule fréquence fondamentale dans le spectre de Fourier), un tore (deux fréquences fondamentales dans le spectre). Les deux fréquences tendent alors à entrer en résonnance, et cet accrochage de fréquence précède de peu l'entrée dans le chaos.

Une remarque s'impose sur l'utilisation de l'outil informatique et la précision des nombres manipulés. Ces nombres étant d'une précision finie, ils sont nécessairement dans un rapport rationnel. On utilise des réels double précision, codés sur 8 octets ; un rapport rationnel courant entre deux réels (en supposant que les bits de poids faible sont différents) met en jeu des valeurs entières de l'ordre de $ 10^{15}$ ($ 2^{50}$). Dans ce cas, il faudrait environ $ 10^{15}$ points pour fermer la suite de points qui parcourt le tore. En pratique, un accrochage du type de ceux décrits dans la route vers le chaos a une probabilité infime d'être purement lié à des phénomènes numériques.

Lors de l'entrée dans le régime chaotique, la dynamique perd sa structure périodique ou pseudo-périodique. Au sein de l'attracteur, la distance entre deux trajectoires initialement proches tend à augmenter exponentiellement au cours du temps. L'entrée dans le régime chaotique marque une rupture fondamentale, qui brise la capacité à prédire le comportement du système au delà d'un horizon temporel déterminé.

Tous les régimes dynamiques décrits ci-dessus peuvent être représentés à l'aide de l'application de premier retour sur le signal moyen $ m_N(t)$. Lors d'une route vers le chaos, cette représentation met en évidence une grande variété de formes. Ainsi, sur une plage de valeurs de $ g$ correspondant à un même régime dynamique, on peut constater des déformations et des dilatations sur l'attracteur, en particulier pour les attracteurs cycliques. Les bifurcations sont également marquées par des changements visuels. La transition du cycle au tore $ {\mathcal T}2$ fait apparaître une structure finement striée correspondant à une couverture dense de la surface torique. L'accrochage de fréquence fait apparaître un cycle très embrouillé, correspondant à une trajectoire refermée à la surface du tore. La transition de l'accrochage de fréquence au chaos se traduit par une dispersion des points de la trajectoire autour de la structure obtenue à l'accrochage. Lorsque $ g$ s'éloigne de la frontière du chaos, la dispersion des points augmente et l'attracteur apparaît de plus en plus ``bruité''. Un tel exemple de route vers le chaos est présenté sur la figure 2.10.

Figure 2.10: Un exemple de route vers le chaos avec deux bifurcations de Hopf. On a représenté le diagramme de premier retour du signal moyen $ m_N(t)$, pour des valeurs de $ g$ comprises entre $ g=6.62$ et $ g=7.06$, avec des pas de 0.04. On trouve comme valeur de déstabilisation $ g_{dest}=6.62$. On a itéré la dynamique sur 10000 pas de temps et supprimé 1000 transitoires. Les paramètres sont $ N=200$, $ \bar{\theta}=0.1$, $ \sigma _\theta =0.1$, $ \bar{J}=0$, $ \sigma _J=1$.
\includegraphics[]{attr_R9_662.eps} \includegraphics[]{attr_R9_666.eps} \includegraphics[]{attr_R9_670.eps}
\includegraphics[]{attr_R9_674.eps} \includegraphics[]{attr_R9_678.eps} \includegraphics[]{attr_R9_682.eps}
\includegraphics[]{attr_R9_686.eps} \includegraphics[]{attr_R9_690.eps} \includegraphics[]{attr_R9_694.eps}
\includegraphics[]{attr_R9_698.eps} \includegraphics[]{attr_R9_702.eps} \includegraphics[]{attr_R9_706.eps}

Il existe de nombreuses variantes à cette route générique, faisant intervenir des bifurcations flip. La figure 2.11 présente une route vers le chaos où la bifurcation flip initiale est suivie par deux bifurcations de Hopf (cycle double et tore double) avant de basculer dans le chaos.

Figure 2.11: Un exemple de route vers le chaos avec bifurcation Flip. On a représenté le diagramme de premier retour du signal moyen $ m_N(t)$, en régime stationnaire. La valeur de déstabilisation est $ g_{dest}=3.96$. La première bifurcation est une bifurcation Flip. Les valeurs atteintes entre $ g=3.96$ et $ g=4.42$ sont représentées sur la figure du haut. L'étoile représente la valeur du point fixe pour $ g=3.96$, les petits carrés les deux valeurs atteintes pour $ g=4.42$. Une seconde bifurcation apparaît pour $ g=4.42$, et conduit à un cycle double. On a représenté sur les 6 figures du bas les attracteurs qui marquent la transition du cycle double au chaos pour $ g=4.44$, $ g=4.50$, $ g=4.56$, $ g=4.62$, $ g=4.64$ et $ g=4.66$. Les paramètres sont $ N=200$, $ \bar{\theta}=0.1$, $ \sigma _\theta =0.1$, $ \bar{J}=0$, $ \sigma _J=1$.
\includegraphics[]{attr_R10_396_442.eps}

\includegraphics[]{attr_R10_444.eps} \includegraphics[]{attr_R10_450.eps} \includegraphics[]{attr_R10_456.eps}

\includegraphics[]{attr_R10_462.eps} \includegraphics[]{attr_R10_464.eps} \includegraphics[]{attr_R10_466.eps}


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Dauce Emmanuel 2003-05-07