Dynamique transitoire

La notion d'attracteur a été précisée dans la partie introductive sur les systèmes dynamiques page . Le temps qui sépare l'initialisation et le moment où la trajectoire atteint un voisinage fixé de l'attracteur constitue la durée de relaxation. Cette durée est variable d'un système à l'autre. La dynamique qui se déploie pendant la relaxation est appelée dynamique transitoire. La dynamique correspondant à un parcours sur l'attracteur constitue la dynamique stationnaire.

Dans la mesure où le système possède un attracteur unique, les caractéristiques de la dynamique stationnaire sont les mêmes pour toute condition initiale. Au contraire, la dynamique transitoire dépend des conditions initiales. Pour caractériser la dynamique du système, il est nécessaire de supprimer les transitoires. Le choix du nombre de transitoires à supprimer est, comme nous allons le voir, un problème délicat.

L'application de premier retour (voir page ) du signal moyen $m_N(t)$ fournit dans notre cas une représentation simple et pratique de l'attracteur du système. Un premier exemple est donné dans les figures 2.5 et 2.6 où la représentation temporelle classique du signal et l'application de premier retour sont mises côte à côte.

Ces deux figure nous permettent d'illustrer le comportement des transitoires, dans le cas où le système converge vers un point fixe. Dans les deux cas, le système converge vers un point fixe, mais la durée de cette convergence est courte dans le premier cas (figure 2.5) (environ 60 pas de temps) et très longue dans le second cas (figure 2.6) (plus de 10000 pas de temps).

Figure 2.5: Deux représentations du même signal $m_N(t)$, pour $t$ de 0 à 200. À gauche, on a la représentation temporelle du signal, à droite, on a l'application de premier retour. La dynamique converge vers un point fixe. Les autres paramètres sont $N=200$, $g=5.6$, $\bar{\theta}=0.1$, $\sigma _\theta =0.1$, $\bar{J}=0$, $\sigma _J=1$.

Figure 2.6: Deux représentations du même signal $m_N(t)$, pour $t$ de 0 à 3000. À gauche, on a la représentation temporelle du signal, à droite, on a l'application de premier retour. La dynamique converge vers un point fixe. Les autres paramètres sont $N=200$, $g=4.65$, $\bar{\theta}=0.1$, $\sigma _\theta =0.1$, $\bar{J}=0$, $\sigma _J=1$.

Les temps de convergence très longs se rencontrent essentiellement lorsque le système est proche d'une valeur de bifurcation. Dans l'exemple de la figure 2.6, le système est très proche de la valeur d'entrée en régime cyclique. Hormis pour ces conditions critiques, le temps de convergence vers le régime stationnaire est de l'ordre de 40 à 100 pas de temps. Pour la suite, dans le cadre de l'étude de systèmes individuels, les transitoires seront supprimés par l'expérimentateur. Pour des simulations à grande échelle, en supposant que les comportements singuliers tendent à s'effacer face au nombre de systèmes mis en jeu, les transitoires supprimés seront fixés à l'avance, et compris entre 100 et 1000 pas de temps.