Exposants de Lyapunov

En régime chaotique, la distance entre deux trajectoires initialement proches tend à augmenter à une vitesse exponentielle, puis à se stabiliser lorsque la distance atteint une valeur limite de l'ordre du diamètre de l'attracteur. Étant donné une précision sur les mesures, le temps que mettent deux conditions initiales dont la distance à l'origine est de l'ordre de cette précision constitue l'horizon prédictif du système. Les exposants dits de Lyapunov permettent de mesurer ce taux de divergence

La mesure du plus grand exposant de Lyapunov nécessite d'itérer la dynamique du modèle pour deux conditions initiales très proches, et de mesurer au bout d'un temps fini la distance entre ces deux trajectoires. Pour que ce calcul soit valable, il faut bien sûr que ces deux conditions initiales soient situées à proximité de l'attracteur.

Dans la mise en uvre numérique, après initialisation, 5000 transitoires sont tout d'abord supprimés ($t_0=5000$). Le potentiel $u(t_0)$ sert de point d'initiation. On lui adjoint comme point voisin $u'(t_0)$ tel que pour tout $i$ dans $1..N$, $u_i'(t_0)=u_i(t_0+\varepsilon)$ ; on a ainsi $d(u(t_0),u'(t_0))=N \varepsilon$. On calcule les deux trajectoires partant de ces 2 points, sur $T$ pas de temps. La nouvelle distance est calculée comme $d_1=d(u(t_0+T),u'(t_0+T))=\sqrt{\sum_{i=1}^N (u_i(t_0+T)-u_i'(t_0+T))^2}$.

Cette opérations est répétée $n$ fois, en prenant comme point d'initiation $u(t_0+kT)$, pour $k \in 1..n$. On a ainsi $n$ estimations de la distance : $d_1, ..., d_n$. La distance moyenne est donnée par $\bar{d}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n d_k$. Ce calcul de la distance moyenne après $T$ itérations est nécessaire dans la mesure ou le taux de divergence n'est pas homogène sur l'attracteur. En prenant plusieurs points d'initiation, on améliore l'estimation de ce taux de divergence sans le faire dépendre d'une mesure particulière.

Pour la mesure présentée figure 2.13, on a pris $\varepsilon=10^{-8}$, $T=260$ et $n=30$. Le comportement de l'exposant de Lyapunov lors de la route vers le chaos est donné par cette Figure. Le réseau mesuré est celui dont on s'est déjà servi pour tracer l'évolution des attracteurs (figure 2.10).

Figure 2.13: Estimation du plus grand exposant de lyapunov pour $g$ croissant. Les paramètres sont $N=200$, $\bar{\theta}=0.1$, $\sigma _\theta =0.1$, $\bar{J}=0$, $\sigma _J=1$.

Les différentes bifurcations de la route vers le chaos sont discernables sur la figure 2.13. La plage de transition apparaît comme un plateau, au cours duquel l'exposant maximal reste quasiment constant aux alentours de la valeur zéro. On sait que l'exposant maximal vaut exactement zéro sur toute la longueur de la plage de transition (voir page ). Les limites de précision numérique font que la valeur de l'exposant est légèrement sous-estimé. On peut d'ailleurs constater que plus la valeur de $T$ est élevée, plus la valeur estimée en régime de cycle limite se rapproche de zéro. La transition entre le cycle et le tore ${\mathcal T}2$ fait apparaître une petite discontinuité sur la valeur de l'exposant, même si l'estimation donne toujours une valeur inférieure à zéro. L'accrochage marque encore une petite rupture, et la traversée de l'abscisse marque l'entrée dans un régime chaotique. L'augmentation rapide de la valeur de l'exposant accompagne une complexification progressive de la dynamique.

Par la suite, même si cela n'apparaît pas toujours dans le texte, le critère objectif que l'on utilise pour qualifier une dynamique de ``chaotique'' repose sur cette estimation.